Função do 2º Grau Vestibular, - Matemática

Olá Bubinha,

Agora, o site tem a funcionalidade de anexar figuras. Ficou mais fácil. Clique em hexagono.jpg no final do comentário!
Eu fiz um desenho tentando explicar como resolver o exercício.
Observe na figura o Hexágono que está no centro da figura. Prolongando os lados do hexágono(parte pontilhada), formamos dois triângulos equiláteros: o ABC e o DEF. Com isso, conseguimos encontrar os dois lados que estão faltando para conseguirmos calcular a área lateral do prisma.

Vamos analisar primeiramente o Triângulo ABC:
- Como ele é equilátero, temos que AC = BC, então:
6 + 10 + 4 = 8 + 4 + y
y = 8m

Agora analisando o triângulo DEF
DE = EF
x + 6 + 10 = 10 + 4 + 8
x = 6m

Agora iremos calcular a área lateral. Essa área é a soma de todos os retângulos que formam a lateral. Esses triângulos teem base igual ao lado correspondente do hexágono e altura igual a 6m.

Portanto:
ÁreaLateral = 8.6 + 4.6 + 10.6 + 6.6 + x.6 + y.6
ÁreaLateral = 6.(8 + 4 + 10 + 6 + x + y)
ÁreaLateral = 6.(8 + 4 + 10 + 6 + 6 + 8)
ÁreaLateral = 6.42
ÁreaLateral = 252m²

Espero ter ajudado,
Daniel

Olá Bubinha. Este é um exercício difícil de se explicar via palavras, já que ainda não tem a opção de adicionar imagens. Mas vou tentar da melhor forma possível.

1) Bom, em primeiro lugar eu sugiro a vc desenhar um plano cartesiano e colocar os pontos A(1,2) e B(2,5) no plano para tentar visualizar como montar um QUADRADO com o lado AB. Você verá que

2) Agora vamos ver quanto mede o lado desse quadrado. Como já temos as coordenadas de um lado. Iremos calcular a distância entre dois pontos. No nosso caso A e B.
Seja L a medida do lado do Quadrado.
L = Raiz[(2-1)² + (5-2)²] = Raíz(1 + 9) = Raíz(10)
**OBS.: Entenda Raíz como raíz quadrada do que está entre [] ou () ou {}

3) O próximo passo é encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A e B, para sabermos o seu coeficiente angular. Com esse Coeficiente, iremos encontrar o coeficiente das duas retas que formam os outros lados do quadrado. Um desses lados é referente ao ponto A e outro ao ponto B. Como essas retas são perpendiculares com a reta AB o coeficiente angular delas multiplicado pelo coeficiente da reta AB é igual a -1.
Encontrando a equação da reta AB:
y = ax + b
Montando o sistema com os pontos A e B para acharmos o "a" e "b" da equação
| 2 = 1.a + b ==> Equação 1
| 5 = 2.a + b ==> Equação 2
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(5-2) = (2.a - 1.a) + (b - b)
3 = a
Substituindo o valor de "a" na equação 1 encontramos o b:
2 = 1.3 + b
b = -1
Logo a equação é y = 3.x - 1 ==> Equação 3

4) Chamaremos de M1 e M2 os coeficientes angulares das retas que passa por A e B reespectivamente.
Agora iremos encontrar o coeficiente angular das retas perpendiculares (M1 e M2) a reta AB
Sabemos que o coeficiente angular da reta AB é igual a 3. Chamaremos de M = 3
Mas M1 = M2 pois as retas são paralelas. Assim, chamaremos M1 = M2 = Mr.
Logo Mr . M = -1
Temos portanto que Mr = -1/3 = M1 = M2

5) Vamos encontrar primeiro o Lado de cima do quadrado, ou seja, o lado que passa pelo ponto B.
A equação da reta que passa por B e por C e é perpendicular a AB é:
Yc - Y0 = Mr.(Xc - X0)
Yc - 5 = -(Xc - 2)/3 (Multiplicando ambos os lados da igualdade por 3, para "tirar" o denominador
3.Yc - 15 -Xc + 2
3.Yc = -Xc + 17
Yc = (-Xc + 17)/3 ==> Equação 4 ( Reta que passa pelo ponto B e é Perpendicular a AB e ainda que passará pelo ponto C)

Sabemos que a distância entre B e C deve ser a mesma que distância entre A e B. Ou seja, Raiz(10). Chamaremos as coordenadas do ponto C de Xc e Yc.
Calculando a distância entre B e C temos:
Raíz[(Xc - 2)² + (Yc - 5)²] = Raíz(10) ( elevando os dois lados da igualdade ao quadrado, para "tirarmos a Raíz)
(Xc - 2)² + (Yc - 5)² = 10
Desenvovendo a equação acima temos:
(Xc² - 4Xc + 4) + (Yc² - 10Yc + 25) = 10
Xc² - 4Xc + Yc² - 10Yc = -19 ==> Equação 5
Substituindo a Equação 4 na Equação 5, temos:
Xc² - 4Xc + [(-Xc + 17)/3]² - 10.[(-Xc + 17)/3] = -19
Xc² - 4Xc + [(Xc² - 34.Xc + 289)/9] -10.[(-Xc + 17)/3] = -19 (multiplicando ambos os lados da igualdade por 9 para "tirarmos" o denominador)
9.Xc² - 36Xc + Xc² - 34.Xc + 289 + 30.Xc - 510 = -171
10.Xc² - 40.Xc = 50
10.Xc² - 40.Xc - 50 = 0 Dividindo ambos os lados da igualdade por 10 temos:
Xc² - 4.Xc - 5 = 0
Xc = [4 + Raíz(36)]/2 = 5 ou Xc = [4 - Raíz(36)]/2 = -1
Mas por que encontramos 2 Xc? Pois se você reparar no plano cartesiano que você desenhou, podemos formar o quadrado tanto para o lado esquerdo de AB quanto para o lado direito de AB.
Vamos achar o Yc para cada Xc correspondente:
Substituindo o valor de Xc = 5 na equação 4:
Yc = (-Xc + 17)/3
Yc = (-5 + 17)/3
Yc = 12/3
Yc = 4
Ou substituindo o valor de Xc = -1 na equação 4:
Yc = (-Xc + 17)/3
Yc = (-(-1) + 17)/3
Yc = 18/3
Yc = 6

Portanto o Ponto C pode ser: C(5,4) ou C(-1,6)

6) Para encontrarmos o ponto D, temos que analisar o a reta de baixo. Mas não será necessário todas essas contas novamente. Por se tratar de um Quadrado podemos dizer que o tanto o ponto D a direita quanto a esquerda do ponto A, sofrerão o mesmo deslocamento horizontal ou vertical que o ponto C sofreu a direita ou a esquerda do ponto B:
Ou seja quando o ponto C for a direita do ponto B, ou seja, C (5,4). Calcularemos o deslocamento sofrido de B para C: Chamaremos de Dx e Dy o deslocamento no eixo X e no Y reespectivamente.
Dx = Xc - Xb
Dx = 5 - 2 = 3
e
Dy = Yc - Yb
Dy = 4 - 5 = -1
Logo o ponto D(Xd,Yd) do lado direito, correspondente ao ponto C(5,4) é:
Xd = Xa + Dx
Xd = 1 + 3 = 4
e
Yd = Ya + Dy
Yd = 2 + (-1) = 1
Temos então que C(5,4) e D(4,1)

Quando o ponto C for a esquerda do ponto B, ou seja, C (-1,6). Calcularemos o deslocamento sofrido de B para C: Chamaremos de Dx e Dy o deslocamento no eixo X e no Y reespectivamente.
Dx = Xc - Xb
Dx = -1 - 2 = -3
e
Dy = Yc - Yb
Dy = 6 - 5 = 1
Logo o ponto D(Xd,Yd) do lado esquerdo, correspondente ao ponto C(-1,6) é:
Xd = Xa + Dx
Xd = 1 + (-3) = -2
e
Yd = Ya + Dy
Yd = 2 + 1 = 3
Temos então que C(-1,6) e D(-2,3)

Concluindo:
C(5,4) e D(4,1) OU C(-1,6) e D(-2,3)

Desenhe todos os pontos para verificar a visualização dos Dois Quadrados.

É meio difícil explicar apenas com palavras. Mas qualquer coisa pergunte.
Qualquer dúvida, meu msn é dvalexandrino@hotmail.com

Espero ter ajudado,
Daniel