Função Modular Vestibular, - Matemática

Enviado seg, 01/01/2007 - 05:00 por ficharionline
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         A função modular f : R -> R é definida por f (x) = |x|, se:

  • |x| =  x , se x > 0
  • -x , se x < 0

               , portanto temos que a função modular é definida por duas sentenças: f (x) = x, se x>0 e f (x) = -x, se x<0.

         Equação modular

         A equação modular está baseada nas seguintes propriedades: Se a > 0 e |x| = a, então x = a ou x = -a; Se a=0 e |x| = 0, então x = 0.

            Exemplos:

1) Resolver |3x ? 2| = 2

  • |3x ? 1| = 2 ->   3x ?1 = 2 -> x = 1, ou
  •   3x ?1 = -2 ->x = -1/3

Resposta: S = {1, -1/3}

2) Resolver: |2x ? 1| = |x + 3|

|2x ? 1| = |x + 3| ->  

  • 2x ? 1 = x + 3 -> x = 4
  • 2x ? 1 = - x ? 3 -> x = -2/3

                               

Resposta: S = {4, -2/3}

Gráfico

            Para construir o gráfico da função modular procedemos assim:

1º passo: construímos o gráfico da função onde f(x)> 0

2º passo: onde a função é negativa, construímos o gráfico de ? f(x) (?rebate? para o outro lado na vertical).

3º passo: une-se os gráficos

Exemplos:

f(x) = |x|                                                                                 f(x) = |x ? 2|                                       

f(x) = |x2 ? 4|

 

Inequação modular

     |x| > a  Û  x < -a ou x > a  

        |x| < a  Û  -a < x < a          

Exemplos:

1) Resolver a inequação: | x ? 1| < 4

| x ? 1| < 4 -> -4 < x ? 1 < 4

-3 < x < 5

Resposta: S = {x E R| -3 < x < 5}

2) Resolver a inequação: | 2x ? 3| > 7

| 2x ? 3| > 7->   2x ? 3 < -7 -> x < -2

                         2x ? 3 > 7 -> x > 5

Resposta: S = {x E R| x < -2 ou x > 5 }

 

Referências Bibliográficas:

Comunidade Fichário Online

Links Relacionados:

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Comentários

alguem sabe

por brayan - 02/06/2010 - 17:08

alguem sabe resolver
f(x)=-x²-7x+5

Expressão equivalente sem símbolos de módulo

por vini13198 - 19/05/2010 - 16:33

alguem poderia me ajudar por favooorrrr ?

Para cada caso a seguir, determine uma expressão equivalente sem utilizar símbolos de módulo.

|x-12| para x >12
|x-4|, para x pertence aos reais.
|x-5| + |x-4|, para x >5
|x-2| + |x-5| para 2< x <5
|x-4| - |x-6| para x pertence aos reais.

Se alguem puder ajudar, to precisando muito, ja procurei em vários sites e não consigui entender. =/

olha só : se x> 4 quantos

por Bibi bianucci - 05/08/2009 - 09:12

olha só : se x> 4 quantos numeros inteiros satisfazem a sentença
|20-5x| dividido por 4-x, -8x>(ou igual)- 136

Dúvida

por CarolineS - 31/07/2009 - 06:20

Não estou conseguindo resolver este exercício de módulo:

Resolver a inequação |x²-4| < 3x

;D

Vc deve fazer assim: 1º -3X

por Andreia Guedes - 31/07/2009 - 14:51

Vc deve fazer assim:
1º -3X

Oi Daniel

por Ranieri - 19/07/2009 - 06:38

Eu olhei se a questão tinha sido anulada,mas valeu a questão e o gabarito oficial é -√3 ( menos raiz de três),olhei se tinha copiado errado porém e desse mesmo jeito

(UFCG)Denotemos por IR o

por Ranieri - 18/07/2009 - 05:36

(UFCG)Denotemos por IR o conjunto dos números reais. Se o intervalo fechado [a,b] está contido em IR é o conjunto solução da inequação [x-1] + [x+1] ≥ 3[x]. Pode-se afirmar que o valor da tg([a-b]π /2) é:

Obs: os [ ] são módulos , na inequação e na tg

Resposta

por dvalex - 19/07/2009 - 19:01

olá Ranieri,

Bom, vou dar uma pensada entao.. Assim que conseguir eu posto aqui.

Desculpe

Conjunto

por Figueroa - 15/07/2009 - 13:41

Uma escola de Salvador abriu inscrições para aulas de reforço nas disciplinas Matemática, Física e Química do 2°ano Ensino Médio, sem que houvesse coincidência de horários, de modo que permitisse a inscrição simultânea em mais de uma dessas três disciplinas. Analisando o resultado final das inscrições, o coordenador pedagógico constatou:

1°)Dos 62 alunos inscritos para as aulas de Física, 22 inscreveram-
se exclusivamente para essas aulas;

2°)38 alunos se inscreveram para as aulas de Matemática;

3°)26 alunos se inscreveram para as aulas de Química;

4°)Nenhum aluno se inscreveu simultaneamente para as aulas de
Matemática e de Química;

5°)O número de alunos inscritos exclusivamente para as aulas de
Matemática é o dobro do número de alunos inscritos exclusivamente para as aulas de Química.

O número de alunos inscritos simultaneamente para as aulas de
Matemática e de Física é

a) 26 b) 20 c) 18 d) 24 e) 22

Resposta

por dvalex - 15/07/2009 - 18:59

Figueroa, esta questao nao diz respeito a este assunto! Procure sempre colocar as questoes em seus respectivos temas! Obrgiado pela compreensao!
Bom, vamos lá..
Primeiramente abra o anexo, clicando no link conjunto.jpg no final da minha resposta para ver a figura que fiz. Será mais fácil entender.

Nosso objetivo é encontrar o valor de y!

Primeiro analisaremos o conjunto de matemática:
---> Como o total de inscritos em matemática é 38, temos então:
---> Inscritos Apenas em Matemática + Inscritos em Matemática e Física = 38 ou seja:
---> 2x + y = 38 ==> Equação 1

Agora iremos analisar o conjunto de Química:
---> Como o total de inscritos em química é 26, temos então:
---> Inscritos Apenas em Química + Inscritos em Química e Física = 26 ou seja:
---> x + z = 26 ==> Equação 2

Por fim analisaremos o conjunto de Física:
---> Como o total de inscritos em Física é 62, temos então:
---> Inscr. Apenas Física + Inscr. Química e Física + Inscr. Matemática e Física = 62 ou seja:
---> 22 + z + y = 62
---> z + y = 40 ==> Equação 3

Montando um sistema com as Equações 1,2 e 3 temos:
| 2x + y = 38
| x + z = 26
| z + y = 40

Somando as duas primeiras equações, temos:
3x + (z + y) = 64 ==> Equação 4

Substituindo a Equação 3 na Equação 4 temos:
3x + (40) = 64
3x = 24
x = 8

Substituindo o valor de x na equação 1 temos o seguinte resultado:
2.x + y = 38
2.8 + y = 38
y = 38 - 16
y = 22

Portanto temos 22 inscritos simultaneamentes em Matemática e Física!

Espero ter ajudado,
Daniel

AnexoTamanho
conjunto.jpg 43.01 KB

alguem sabe resolver

por washingtonalmeida - 08/07/2009 - 12:40

alguem sabe resolver isso:
[3x-2]=4
sera que e assim:
3x-2=4
x=6/3

Resposta

por dvalex - 08/07/2009 - 14:31

Olá washington,
Imagino que vc quis dizer |3x - 2| = 4

Pois da maneira como escreveu, a sua resolução está correta! Agora se vc quis dizer |3x - 2| = 4, o modo como resolve é um pouco diferente.

Bom, vamos lá:
Por definição
|x| = x se x > 0 e
|x| = -x se x < 0

É uma idéia esquisita a principio. Vou tentar escrever em uma linguagem menos formal! Me desculpem os matemáticos de plantão!! Em suma imagine o seguinte:
|-4| = 4 e |4| = 4
O módulo é SEMPRE positivo!

Quando temos uma função dentro do sinal de módulo e tudo isto forma uma equação. Ou seja:
|F(x)| = a

Resolvemos SEMPRE dessa maneira:
F(x) = a OU F(x) = -a Pois não importa se o que está dentro do sinal de módulo é positivo ou negativo.
No seu caso temos:
|3x - 2| = 4
Logo
3x - 2 = 4 OU 3x - 2 = -4
Resolvendo a primeira equação primeiro e depois a segunda:
3x - 2 = 4
3x = 6
x = 2

Agora a segunda:
3x - 2 = -4
3x = -2
x = -2/3

Perceba que se substituirmos x tanto por 2 quanto por -2/3 na função que está dentro do módulo, o resultado final será sempre 4. Veja:
Primeiro vou substituir por 2:
|3.2 - 2| = |6 - 2| = |4| = 4

Agora substituindo por -2/3:
|3.(-2/3) - 2| = |-6/3 - 2| = |-2 - 2| = |-4| = 4

Espero ter explicado de um jeito menos formal e que vc tenha entendido!

Qualquer coisa, meu msn é dvalexandrino@hotmail.com

Abraço!

Equação modular

por Prof.Garcia - 08/07/2009 - 14:00

Prezado washington Almeida para resolver uma eq. modular do tipo |3x-2|=4, devemos considerar para o resultado do 2º membro o valor positivo e o valor negativo:

|3x-2|=4 ==> 3x = 4+2 ==>3x=6 e x = 6/3 ==>x= 2
ou |3x-2|= -4==> 3x = -4 +2 ==> 3x = -2==> x= -2/3 , portanto conj. solução da eq. S= {2;-2/3}.Se vc quiser fazer uma verificação constatará que substitiuindo a eq. para os valores encontrados que |4| =4 e para x=-2/3 que |-4|= 4 que as duas afirmações são verdadeiras.
Saudações!

Correção

por apmachado - 04/05/2006 - 05:00

Exemplos:
na pagina o valor da expressão na relolução deveria ser \"|3x - 2|\" e não \"|3x - 1|\".
1) Resolver |3x ? 2| = 2

\"|3x ? 1| = 2 -> 3x ?1 = 2 -> x = 1, ou
3x ?1 = -2 ->x = -1/3

Resposta: S = {1, -1/3}\"

Correção

por sergiops21 - 16/12/2006 - 05:00

|3x-2|=2
3x-2=2 -> x=4/3
3x-2=-2 -> x=0

Resposta: S={4/3,0}

Comentario

por maurinho_belem - 03/06/2007 - 05:00

matematica P.G

Observação

por jmarials - 24/06/2007 - 05:00

Com relação ao assunto Módulo, eu posso ampliar esse conteúdo, com mais dicas e exemplos. Atenciosamente, prof J Maria (Taubaté (SP))

Comentario

por victor_perlin - 26/09/2007 - 05:00

Seria de grande ajuda ampliar mais este assunto, explicando de modo mais claro e objetivo. Mesmo assim muito obrigado, isso me ajudou bastante.

Comentario

por samara_lb-2 - 13/11/2007 - 05:00

Vocês estão de parabéns, mas o trabalho sobre função modular poderia aprofundar ainda mais. Atenciosamente,Samara Liarte Brasil(Belém - Pa)

Comentario

por luciomiliano2008 - 03/04/2008 - 05:00

poderia conter mais conteudo.

Observação

por julianaso89 - 08/10/2008 - 05:00

Vlw...Sérgio Souza, acho que a resposta certa é essa mesma...Pq o meu resultado foi esse!!!